Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Dualitäten in Trikategorien. Diese Arbeit entwickelt einen Begriff von Dualitäten in allgemeinen Trikategorien, der motiviert ist von geometrischen Anwendungen. Weiterhin zeigen wir dass Bimodulkategorien über Fusionskategorien eine solche Trikategorie mit Dualitäten liefern.

Die geometrischen Anwendungen sind motiviert durch die Betrachtung von Defekten in 3-dimensionalen topologischen Feldtheorien (TFTs). Wichtige 3-dimensionale TFTs werden mit modularen Tensorkategorien [59] oder sphärischen Fusionskategorien [6, 68] als algebraische Eingangsdaten konstruiert. Die algebraischen Daten für Defekte sollten eine Trikategorie bilden und in orientierten TFTs ergibt sich die zusätzliche Notwendigkeit von Dualitäten in dieser Trikategorie, die der Orientierungsumkehr entsprechen. Neuere Publikationen [31, 44] deuten darauf hin, dass sich die relevante Trikategorie in diesen 3-dimensionalen TFTs aus Bimodulkategorien über den entsprechenden Tensorkategorien zusammensetzten soll. In dieser Arbeit werden zwei Begriffe von Trikategorien mit Dualitäten entwickelt, die der Struktur von Defekten in 3-dimensionalen TFTs angepasst sind. Der erste Begriff, Trikategorie mit schwachen Dualitäten, ist abstrakt formuliert und eignet sich gut dazu, in konkreten Fällen nachzuweisen, dass eine Trikategorie mit passenden Dualitäten vorliegt. Der andere Begriff, Gray-Kategorien mit starken Dualitäten, ist angepasst an die geometrischen Eigenschaften der zugehörgen TFTs und ermöglicht explizite Rechnungen. Wir zeigen in dieser Arbeit, dass beide Begriffe äquivalent sind: Jede Trikategorie mit schwachen Dualitäten lässt sich zu einer Gray-Kategorie mit starken Dualitäten striktifizieren. Unabhängig von ihren Anwendungen in TFTs spielen Bimodulkategorien auch eine wichtige Rolle in der Theorie der Fusionskategorien [21, 57], aber ein vollständiger Beweis, dass sie eine Trikategorie bilden, steht bisher noch aus. Diese Arbeit liefert einen Beweis dieser Aussage und klärt mit welchen Einschränkungen an die Bimodulkategorien diese Trikategorie Dualitäten im oben genannten Sinn besitzt. Die zusätzliche Struktur, die für die Dualitäten erforderlich ist, ist eine Bimodulspur. Es wird gezeigt, dass sich diese Stuktur mit dem bekannten Konzept einer Frobenius Algebra in einer Fusionskategorie in Beziehung setzen lässt. Darüber hinaus liefert die Betrachtung dieser Spuren neue Einsichten in der Theorie der Fusionskategorien. Es wird gezeigt, dass Modulspuren mit der Konjugation von pivotalen Strukturen in Beziehung stehen und dass sich diese durch eine Matrixgleichung charakterisieren lassen.